等价无穷小替换法等价无穷小替换法是求解极限的重要方法。通过将复杂的无穷小量替换为等价的简单无穷小量，可以大大简化极限计算。
基本原理如果 α(x)\alpha(x)α(x) 和 β(x)\beta(x)β(x) 是等价无穷小，即 α(x)∼β(x)\alpha(x) \sim \beta(x)α(x)∼β(x)，那么：
数学公式
公式是数学中表达数量关系、结构规律的符号表达式，是解决数学问题的重要工具。重要结论公式应熟练掌握和灵活应用。
等价无穷小替换法的基本原理limx→af(x)α(x)=limx→af(x)β(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\alpha(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\beta(x)}limx→aα(x)f(x)=limx→aβ(x)f(x)
∼\sim∼：等价符号，表示两个无穷小量之间的等价关系。
α\alphaα（alpha）：希腊字母，读作”阿尔法”，在本文中表示无穷小量。
β\betaβ（beta）：希腊字母，读作”贝塔”，在本文中表示无穷小量。
等价无穷小的定义数学定义
定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。
等价无穷小的定义当 x→ax \to ax→a 时，如果 limx→aα(x)β(x)=1\lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1limx→aβ(x)α(x)=1，则称 α(x)\alpha(x)α(x) 和 β(x)\beta(x)β(x) 是等价无穷小，记作 α(x)∼β(x)\alpha(x) \sim \beta(x)α(x)∼β(x)。
常用等价无穷小关系1. 基本等价关系（x→0x \to 0x→0）sinx∼x\sin x \sim xsinx∼x tanx∼x\tan x \sim xtanx∼x arcsinx∼x\arcsin x \sim xarcsinx∼x arctanx∼x\arctan x \sim xarctanx∼x ln(1+x)∼x\ln(1 + x) \sim xln(1+x)∼x ex−1∼xe^x - 1 \sim xex−1∼x (1+x)a−1∼ax(1 + x)^a - 1 \sim ax(1+x)a−1∼ax
2. 复合等价关系sin(x2)∼x2\sin(x^2) \sim x^2sin(x2)∼x2 ln(1+x2)∼x2\ln(1 + x^2) \sim x^2ln(1+x2)∼x2 ex2−1∼x2e^{x^2} - 1 \sim x^2ex2−1∼x2
3. 高阶等价关系sinx−x∼−x36\sin x - x \sim -\frac{x^3}{6}sinx−x∼−6x3 tanx−x∼x33\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}tanx−x∼3x3 ln(1+x)−x∼−x22\ln(1 + x) - x \sim -\frac{x^2}{2}ln(1+x)−x∼−2x2
典型例题例题 1求极限 limx→0sin3xtan2x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x}limx→0tan2xsin3x
参考答案 (1 个标签)等价无穷小解题思路： 这是一个 00\frac{0}{0}00 型不定式，可以使用等价无穷小替换。
详细步骤：
检查不定式类型：
当 x→0x \to 0x→0 时，分子 sin3x→0\sin 3x \to 0sin3x→0当 x→0x \to 0x→0 时，分母 tan2x→0\tan 2x \to 0tan2x→0因此是 00\frac{0}{0}00 型不定式使用等价无穷小替换：
sin3x∼3x\sin 3x \sim 3xsin3x∼3xtan2x∼2x\tan 2x \sim 2xtan2x∼2x替换后求极限： limx→0sin3xtan2x=limx→03x2x=limx→032=32\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{2} = \frac{3}{2}limx→0tan2xsin3x=limx→02x3x=limx→023=23
答案： limx→0sin3xtan2x=32\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \frac{3}{2}limx→0tan2xsin3x=23
例题 2求极限 limx→0ln(1+x2)x2\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2}limx→0x2ln(1+x2)
参考答案 (1 个标签)等价无穷小解题思路： 这是一个 00\frac{0}{0}00 型不定式，可以使用等价无穷小替换。
详细步骤：
检查不定式类型：
当 x→0x \to 0x→0 时，分子 ln(1+x2)→0\ln(1 + x^2) \to 0ln(1+x2)→0当 x→0x \to 0x→0 时，分母 x2→0x^2 \to 0x2→0因此是 00\frac{0}{0}00 型不定式使用等价无穷小替换：
ln(1+x2)∼x2\ln(1 + x^2) \sim x^2ln(1+x2)∼x2替换后求极限： limx→0ln(1+x2)x2=limx→0x2x2=limx→01=1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} 1 = 1limx→0x2ln(1+x2)=limx→0x2x2=limx→01=1
答案： limx→0ln(1+x2)x2=1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1limx→0x2ln(1+x2)=1
练习题练习 1求极限 limx→0ex−1sinx\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}limx→0sinxex−1
参考答案 (1 个标签)等价无穷小解题思路： 这是一个 00\frac{0}{0}00 型不定式，可以使用等价无穷小替换。
详细步骤：
检查不定式类型：
当 x→0x \to 0x→0 时，分子 ex−1→0e^x - 1 \to 0ex−1→0当 x→0x \to 0x→0 时，分母 sinx→0\sin x \to 0sinx→0因此是 00\frac{0}{0}00 型不定式使用等价无穷小替换：
ex−1∼xe^x - 1 \sim xex−1∼xsinx∼x\sin x \sim xsinx∼x替换后求极限： limx→0ex−1sinx=limx→0xx=limx→01=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1limx→0sinxex−1=limx→0xx=limx→01=1
答案： limx→0ex−1sinx=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = 1limx→0sinxex−1=1
练习 2求极限 limx→0tanx−xx3\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}limx→0x3tanx−x
参考答案 (1 个标签)等价无穷小解题思路： 这是一个 00\frac{0}{0}00 型不定式，需要使用高阶等价关系。
详细步骤：
检查不定式类型：
当 x→0x \to 0x→0 时，分子 tanx−x→0\tan x - x \to 0tanx−x→0当 x→0x \to 0x→0 时，分母 x3→0x^3 \to 0x3→0因此是 00\frac{0}{0}00 型不定式使用高阶等价关系：
tanx−x∼x33\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}tanx−x∼3x3替换后求极限： limx→0tanx−xx3=limx→0x33x3=limx→013=13\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}limx→0x3tanx−x=limx→0x33x3=limx→031=31
答案： limx→0tanx−xx3=13\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3}limx→0x3tanx−x=31
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